Question

对于任意的x∈R,不等式2x^2-a(x^2+1)^1/2+3>0恒成立。则实数a的取值范围是

对于任意的x∈R,不等式2x^2-a(x^2+1)^1/2+3>0恒成立。则实数a的取值范围是

Answer 1

解:令(x^2+1)^(1/2)=t,则t≥1,且x^2=t^2-1。易知原条件相当于:
对于任意t>1,以下不等式恒成立:
2(t^2-1)-at+3>0
即
2t^2-at+1>0......①
令f(t)=2t^2-at+1,分两种情况讨论:
1.若-a/2(-2)≥1,则a≥4,此时前述条件相当于
f(a/4)>0
即
a^2/8-a^2/4+1>0
即
a^2<8
这与a≥4矛盾。
2.若-a/2(-2)<1,则a<4,此时前述条件相当于
f(1)>0
即
2-a+1>0
即
a<3
综上所述,a的取值范围是a<3。