Question

p是正三角形abc内的一点，且PA=6，PB=8,PC=10. 求△APC的面积

Answer 1

将三角形APB绕A点转60度使得B点与C点重合，P点转至P'点，连接PP'
显然APP'是正三角形，PP'=PA=6，而P'C=PB=8，所以PP'C构成直角三角形
那么四边形APCP'面积等于APP'面积加上PP'C面积=APB面积加上APC面积
设S(APB)=x，S(APC)=y，S(BPC)=z，那么有：
x+y=以PA为边长的正三角形面积+PP'C面积=9√3 + 24
用同样的方法可以求出：
y+z=以PC为边长的正三角形面积+PP'C面积=25√3 +24
z+x=以PB为边长的正三角形面积+PP'C面积=16√3 +24
解上列方程组可得：x=12，y=12+9√3，z=12+9√3
即三角形APC面积为12+9√3

Answer 2

设边长为a
<APB = C
<BPC = A
由余弦定理
a^2 = 6^2 + 8^2 - 96 cosC = 100 - 96 cosC
a^2 = 8^2 + 10^2 - 160 cosA = 164 - 160 cosA
a^2 = 6^2 + 10^2 - 120 cos(A+C) = 136 -120 cos(A+C)
解得a = sqrt(100+48sqrt(3))
APC面积=27.6（约）