Question

已知函数f(x)=8x^3/3-2x^2+bx+a,g(x)=ln(1+2x)+x

已知函数f(x)=8x^3/3-2x^2+bx+a,g(x)=ln(1+2x)+x (1)求f(x)的单调区间 (2)若f(x)与g(x)有交点，且在交点处的切线均为直线y=3x，求a,b的值并证明:在公共定义域内恒有f(x)≥g(x)

Answer 1

(1)
求个导是个2次函数，自己分析下二次函数，理应不难。
(2)
因为ln(1+2x)<=2x(比较下导数即可)，所以g(x)<=2x+x=3x，因此g(x)和y=3x仅有一个交点(0,0)。因此说明f(x)过(0,0)点，且在(0,0)点导数为3。
由f(0)=0得a=0，由f'(0)=3得b=3。
f(x)=8x^3/3-2x^2+3x，g(x)=ln(1+2x)+x，f(0)=g(0)=0。
f'(x)=8x^2-4x+3，g'(x)=2/(1+2x)+1，f'(0)=g'(0)=3。
f''(x)=16x-4，g'(x)=-4/(1+2x)^2，f''(0)=g''(0)=-4。
f'''(x)=16，g'''(x)=16/(1+2x)^3，f'''(0)=g'''(0)=16。
f''''(x)=0，g''''(x)=-96/(1+2x)^4，g''''(x)<f''''(x)=0。(定义域满足1+2x>0)
设h(x)=f(x)-g(x)，则h(0)=h'(0)=h''(0)=h'''(0)=0，而h''''(x)>=0，不停地套用拉格朗日中值定理。
h(x)=h(x)-h(0)=x*h'(a1*x)
(某a1在0到1之间)
=x*(h'(a1*x)-h'(0))
=x*a1*x*h''(a1*a2*x)
(某a2在0到1之间)
=x^2*a1*(h''(a1*a2*x)-h''(0))
=x^2*a1*a1*a2*x*h'''(a1*a2*a3*x)
(某a3在0到1之间)
=x^3*a1^2*a2*(h'''(a1*a2*a3*x)-h'''(0))
=x^3*a1^2*a2*a1*a2*a3*x*h''''(a1*a2*a3*a4*x)
(某a4在0到1之间)
=x^4*a1^3*a2^2*a3*h''''(a1*a2*a3*a4*x)
>=0。
刚刚做的那些插值略复杂，但实质上就基本是泰勒展开。
《数学辅导团》祝你成功。