如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．（1）证明：PA∥
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成角...
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中点．（1）证明：PA∥平面EDB；（2）求EB与底面ABCD所成角的正切值；（3）求二面角E-BD-C的余弦值．
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解：（1）证明：连接AC，交BD于O，连接EO．则O是AC的中点．∵E是PC的中点，∴EO∥PA
∵PA?平面EDB，EO?平面EDB，∴PA∥平面EDB
（2）在平面PDC中，作EM⊥DC于M，连接MB．
∵侧棱PD⊥底面ABCD，PD?平面PDC，
∴平面PDC⊥底面ABCD．∵EM⊥DC，平面PDC∩平面ABCD=DC
∴EM⊥平面ABCD∴∠EBM是EB与底面ABCD所成的角．
∵PD=2，且EM是△PDC的中位线，∴EM=1
而在直角△BCD中，∠BCD=90°，
∴BM＝
| 5 |
| EM |
| MB |
| 1 | ||
|
| ||
| 5 |
即EB与底面ABCD所成角的正切值为
| ||
| 5 |
（3）在平面EDB内，作EH⊥BD于H．
由（2）知，EM⊥平面ABCD，连接MH，则MH⊥BD．
∴∠EHM为二面角E-BD-C的平面角．
在Rt△DMH中，∠DHM=90°，∠CDB=45°，DM=1，
∴MH＝
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴cos∠EHM＝
| MH |
| EH |
|
