过圆内一点的最短弦为什么垂直于这个点所在的直径,怎么证明

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聚完医药4Ts
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知道答主
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解:如图:在圆O内有一点P,AB为直径,过P点作AB的垂线交圆周与点C、D,垂足为P,
求证:为什么CD是经过点P最短的弦.
证明:如图所示:过点P任意作弦EF,过O作OQ⊥EF于点Q.连接OD、OE.
设圆O的半径为R.
根据勾股定理,EQ2=R2-OQ2,PD2=R2-OP2
因为OQ<OP
所以OQ2<OP2
所以EQ2>PD2
所以EQ>PD
因为EF=2EQ,CD=2PD
所以EF>CD
即CD是经过点P最短的弦.
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