Question

在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A 1 BC 1 ． （1）当点C

在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A 1 BC 1 ． （1）当点C 1 在线段CA的延长线上时，如图1，求∠CC 1 A 1 的度数；（2）如图2，△ABC绕点B按逆时针方向旋转，连接AA 1 ，CC 1 ，若△ABA 1 的面积为4，求△CBC 1 的面积；（3）点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P 1 ，求线段EP 1 长度的最大值与最小值．

Answer 1

（1）90°；（2） ；（3）最大值为7，最小值为

试题分析：（1）由旋转的性质可得∠A 1 C 1 B=∠ACB=45°，BC=BC 1 ，即得∠CC 1 B=∠C 1 CB=45°，从而得到结果； （2）由旋转的性质可得△ABC≌△A 1 BC 1 ，即得BA=BA 1 ，BC=BC 1 ，∠ABC=∠A 1 BC 1 ，从而可得 ，∠ABC+∠ABC 1 =∠A 1 BC 1 +∠ABC 1 ，即可证得△ABA 1 ∽△CBC 1 ，再根据相似三角形的性质求解即可； （3）过点B作BD⊥AC，D为垂足，由△ABC为锐角三角形可得点D在线段AC上，在Rt△BCD中，根据 45°角的正弦函数即可求得BD的长，①当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P 1 在线段AB上时，EP 1 最小；②当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P 1 在线段AB的延长线上时，EP 1 最大。 （1）∵由旋转的性质可得：∠A 1 C 1 B=∠ACB=45°，BC=BC 1 ， ∴∠CC 1 B=∠C 1 CB=45° ∴∠CC 1 A 1 =∠CC 1 B+∠A 1 C 1 B=45°+45°=90°； （2）∵由旋转的性质可得：△ABC≌△A 1 BC 1 ， ∴BA=BA 1 ，BC=BC 1 ，∠ABC=∠A 1 BC 1 ， ∴ ，∠ABC+∠ABC 1 =∠A 1 BC 1 +∠ABC 1 ， ∴∠ABA 1 =∠CBC 1 . ∴△ABA 1 ∽△CBC 1   ∴ . ∵S △ ABA1 =4， ∴S △ CBC1 = ； （3）过点B作BD⊥AC，D为垂足， ∵△ABC为锐角三角形 ∴点D在线段AC上。 在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°= 。 ①如图1，当P在AC上运动至垂足点D，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P 1 在线段AB上时，EP 1 最小。最小值为：EP 1 =BP 1 ﹣BE=BD﹣BE= . ②如图2，当P在AC上运动至点C，△ABC绕点B旋转，使点P的对应点P 1 在线段AB的延长线上时，EP 1 最大。最大值为：EP 1 =BC+BE=5+2=7. 点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．