Question

已知f(x)是定义在R上的奇函数,其图像关于直线x=1对称,且f(1/2)

已知f(x)是定义在R上的奇函数，其图像关于直线x=1对称,且f(1/2)=0,则方程f(x)=0在（0，5）内解的个数的最小值是
A。4 B。5 C。6 D。7

求详解，谢谢！！！

Answer 1

分析：由f(x)=-f(-x)，f(1+x)=f(1-x)，得：f(x)=f(2-x),f(-x)=f(2+x)=-f(x)，故有f(x)=f(x+4)=-f(x+2)
故f(x)的周期为4，故有：f(1/2)=f(9/2)=0，而又有f(5/2)=-f(2)=0，故在(0,5)上有1/2,2,5/2,9/2四个根，A选项正确。

追问

答案是D。7 求解啊，谢谢。

追答

此题有问题。函数肯定为周期函数，经过原点，f(0)=0，经过全部四个象限，并且最大值大于0，最小值小于零。由f(x)关于直线X=1对称，那么X=1时，f(X)取得最值，而f(1/2)=0=f(0),那么周期一定为1/2的整数倍。但f(1)为最值≠0，这里就矛盾了，抱歉不能帮你。

Answer 2

(1)f(x)是定义在R上的奇函数
即f(x)=-f(-x)
图像关于直线x=1对称
即f(1+x)=f(1-x)
取x为x-1
既有f(x)=f(2-x)

f(x)=f(2-x)=-f(-(2-x))=-f(x-2)=-f(2-(x-2))=-f(4-x)=-[-f(-(4-x))]=f(x-4)
所以f(x)是周期为4的周期函数
(2)
f(0)=-f(-0) f(0)=0
f(x)＝√x（0≤x≤1）
x∈[-5,-4]
x+4∈[-1,-0]
-(x+4)∈[0,1]
所以
f(x)=f(x+4)=-f(-(x+4))=-√(-x-4),x∈[-5,-4]