Question

已知：如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸

已知：如图，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．（1）求证：∠APB=∠BPH；（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论．

Answer 1

（1）证明：∵PE=BE， ∴∠EBP=∠EPB． 又∵∠EPH=∠EBC=90°， ∴∠EPH-∠EPB=∠EBC-∠EBP． 即∠PBC=∠BPH． 又∵AD ∥ BC， ∴∠APB=∠PBC． ∴∠APB=∠BPH． （2）△PHD的周长不变为定值8． 证明：过B作BQ⊥PH，垂足为Q． 由（1）知∠APB=∠BPH， 在△ABP和△QBP中， ∠APB=∠BPH ∠A=∠BQP BP=BP ， ∴△ABP≌△QBP（AAS）． ∴AP=QP，AB=QB． 又∵AB=BC， ∴BC=BQ． 又∵∠C=∠BQH=90°，BH=BH， ∴Rt△BCH≌Rt△BQH（HL）． ∴CH=QH． ∴△PHD的周长为：PD+DH+PH=AP+PD+DH+HC=AD+CD=8．