Question

如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点 求折痕

如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．
当AP=1时 求折痕EF的长

Answer 1

因为EF是折痕，B和P在折叠后重合，所以EF垂直平分BP。所以BE=EP，BF=PF

假设AE=x 那么BE=AB-AE=4-x=EP，AP=1
根据勾股定理，AE^2+AP^2=EP^2
也就是 x^2+1=(4-x)^2=x^2-8x+16，所以8x=15，x=15/8，所以BE=4-x=17/8

假设CF=y 那么DF=4-y, PD=3
根据勾股定理，CF^2+BC^2=BF^2；PD^2+DF^2=PF^2
因为BF=PF，所以CF^2+BC^2=PD^2+DF^2
也就是4^2+y^2=3^2+(4-y)^2
化简y^2+16=y^2-8y+25，所以8y=9 y=9/8
所以CF=y=9/8

根据勾股定理
EF^2=4^2+(BE-CF)^2=16+1=17
EF=根号下17

Answer 2

过F作FM⊥AB,垂足为M,则FM=BC=AB
又∵EF为折痕
∴EF⊥BP
∴∠EFM+∠MEF=∠ABP+∠BEF=90°
∴∠EFM=∠ABP
又∵∠A=∠EMF=90°
∴△EFM≌△BPA
∴EM=AP=1
∴在Rt△MFE中,
EM^2+FM^2=EF^2
1^2+4^2=EF^2
EF=√17