Question

（2014?柳州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D．（1）求证：△ABE∽

（2014?柳州）如图，在△ABC中，∠BAC的角平分线AD交BC于E，交△ABC的外接圆⊙O于D．（1）求证：△ABE∽△ADC；（2）请连接BD，OB，OC，OD，且OD交BC于点F，若点F恰好是OD的中点．求证：四边形OBDC是菱形．

Answer 1

证明：（1）∵∠BAC的角平分线AD，
∴∠BAE=∠CAD，
∵∠B=∠D，
∴△ABE∽△ADC；

（2）
∵∠BAD=∠CAD，
∴

BD

=

CD

，
∵OD为半径，
∴DO⊥BC，
∵F为OD的中点，
∴OB=BD，OC=CD，
∵OB=OC，
∴OB=BD=CD=OC，
∴四边形OBDC是菱形．

Answer 2

（1）证明： ∵ ∠BAE＝∠DAC(平分角)， ∠ABE＝∠ADV(同一弦上的圆周角)，
∴ △ABE∽△ADC 。
（2）证明： ∵ OB=OC(同圆半径) ， BD=CD（等弧对等弦） ，
∴ 四边形OBDC是菱形（四条边相等）。