Question

求x^2*根号下（1+x^2）的积分

Answer 1

令x=sinz,dx=cosz dz,cosz=√(1-x²)

∫ x²/√(1-x²) dx = ∫ sin²z*cosz/√(1-sin²z) dz

= ∫ sin²z*cosz/cosz dz

= ∫ sin²z dz

= (1/2)∫ (1-cos2z) dz

= (1/2)(z-1/2*sin2z) + C

= (1/2)z-1/2*sinz*cosz + C

= (1/2)arcsinx - 1/2*x*√(1-x²) + C

= (1/2)[arcsinx - x√(1-x²)] + C

扩展资料

不定积分的公式

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

求不定积分的方法：

第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）。

分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。

Answer 2

-√(1-x²) + C

解题过程如下：

∫ x/√(1-x²) dx

=(1/2)∫ 1/√(1-x²) d(x²)

=-(1/2)∫ 1/√(1-x²) d(-x²)

=-√(1-x²) + C

扩展资料

在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。

不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。

常用积分公式：

1）∫0dx=c

2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c

3）∫1/xdx=ln|x|+c

4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c

5）∫e^xdx=e^x+c

6）∫sinxdx=-cosx+c

7）∫cosxdx=sinx+c

8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c

Answer 3

求解过程为

令x=sinz，则dx=coszdz，cosz=√(1-x²)。

∫x²/√(1-x²)dx 

=∫sin²z*cosz/√(1-sin²z)dz

=∫sin²z*cosz/coszdz

=∫sin²zdz

=(1/2)∫(1-cos2z)dz

=(1/2)(z-1/2*sin2z)+C

=(1/2)z-1/2*sinz*cosz+C

=(1/2)arcsinx-1/2*x*√(1-x²)+C

=(1/2)[arcsinx-x√(1-x²)]+C

扩展资料：

不定积分求法：

1、积分公式法。直接利用积分公式求出不定积分。

2、换元积分法。换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。

（1）第一类换元法（即凑微分法）。通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

（2）第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。

3、分部积分法。设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu 

两边积分，得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。

Answer 4

x=tant dx=sec²tdt
∫x²√(1+x²)dx
=∫tan²tsectdt
=∫sec³tdt-∫sectdt
∫sec³tdt=(1/2){sect+tant+ln|sect+tant|}+c
∫sectdt=ln|sect+tant|+c
这道题目最困难的是 ∫sec³tdt，但它是分部积分法中非常著名的的例题，另一个积分也是很多书中的例题。
结果会带成x的函数很容易，你自己完成吧。

Answer 5

利用第二积分换元法,令x=tanu,则
∫√(1+x²)dx
=∫sec³udu=∫secudtanu
=secutanu-∫tanudsecu
=secutanu-∫tan²usecudu
=secutanu-∫sec³udu+∫secudu
=secutanu+ln|secu+tanu|-∫sec³udu,
所以∫sec³udu=1/2(secutanu+ln|secu+tanu|)+C,
从而∫√(1+x²)dx=1/2(x√(1+x²)+ln(x+√(1+x²)))+C
拓展资料：
换元积分法（Integration By Substitution）是求积分的一种方法，主要通过引进中间变量作变量替换使原式简易，从而来求较复杂的不定积分。它是由链式法则和微积分基本定理推导而来的。