求x^2*根号下（1+x^2）的积分
令x=sinz,dx=cosz dz,cosz=√(1-x²)
∫ x²/√(1-x²) dx = ∫ sin²z*cosz/√(1-sin²z) dz
= ∫ sin²z*cosz/cosz dz
= ∫ sin²z dz
= (1/2)∫ (1-cos2z) dz
= (1/2)(z-1/2*sin2z) + C
= (1/2)z-1/2*sinz*cosz + C
= (1/2)arcsinx - 1/2*x*√(1-x²) + C
= (1/2)[arcsinx - x√(1-x²)] + C
扩展资料
不定积分的公式
1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数
2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1
3、∫ 1/x dx = ln|x| + C
4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1
5、∫ e^x dx = e^x + C
6、∫ cosx dx = sinx + C
7、∫ sinx dx = - cosx + C
8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C
求不定积分的方法：
第一类换元其实就是一种拼凑,利用f'(x)dx=df(x)；而前面的剩下的正好是关于f（x）的函数，再把f（x）看为一个整体，求出最终的结果。（用换元法说，就是把f（x）换为t，再换回来）。
分部积分，就那固定的几种类型，无非就是三角函数乘上x，或者指数函数、对数函数乘上一个x这类的，记忆方法是把其中一部分利用上面提到的f‘（x）dx=df（x）变形，再用∫xdf(x)=f(x)x-∫f（x）dx这样的公式，当然x可以换成其他g（x）。
-√(1-x²) + C
解题过程如下：
∫ x/√(1-x²) dx
=(1/2)∫ 1/√(1-x²) d(x²)
=-(1/2)∫ 1/√(1-x²) d(-x²)
=-√(1-x²) + C
扩展资料
在微积分中，一个函数f 的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f 的函数 F ，即F ′ = f。
不定积分和定积分间的关系由微积分基本定理确定。其中F是f的不定积分。
常用积分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
求解过程为
令x=sinz，则dx=coszdz，cosz=√(1-x²)。
∫x²/√(1-x²)dx
=∫sin²z*cosz/√(1-sin²z)dz
=∫sin²z*cosz/coszdz
=∫sin²zdz
=(1/2)∫(1-cos2z)dz
=(1/2)(z-1/2*sin2z)+C
=(1/2)z-1/2*sinz*cosz+C
=(1/2)arcsinx-1/2*x*√(1-x²)+C
=(1/2)[arcsinx-x√(1-x²)]+C
扩展资料：
不定积分求法：
1、积分公式法。直接利用积分公式求出不定积分。
2、换元积分法。换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。
（1）第一类换元法（即凑微分法）。通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。
（2）第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。
3、分部积分法。设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu。移项得到udv=d(uv)-vdu
两边积分，得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。
∫x²√(1+x²)dx
=∫tan²tsectdt
=∫sec³tdt-∫sectdt
∫sec³tdt=(1/2){sect+tant+ln|sect+tant|}+c
∫sectdt=ln|sect+tant|+c
这道题目最困难的是 ∫sec³tdt，但它是分部积分法中非常著名的的例题，另一个积分也是很多书中的例题。
结果会带成x的函数很容易，你自己完成吧。
∫√(1+x²)dx
=∫sec³udu=∫secudtanu
=secutanu-∫tanudsecu
=secutanu-∫tan²usecudu
=secutanu-∫sec³udu+∫secudu
=secutanu+ln|secu+tanu|-∫sec³udu,
所以∫sec³udu=1/2(secutanu+ln|secu+tanu|)+C,
从而∫√(1+x²)dx=1/2(x√(1+x²)+ln(x+√(1+x²)))+C
拓展资料：
换元积分法（Integration By Substitution）是求积分的一种方法，主要通过引进中间变量作变量替换使原式简易，从而来求较复杂的不定积分。它是由链式法则和微积分基本定理推导而来的。
