Question

函数在某一点可导，其导函数在这一点一定连续吗？

注意：不是问原函数是不是在该店连续，而是其导函数是否连续。即：存不存在函数在某点可导，但其导函数在某点不连续

Answer 1

函数在某一点可导，就是函数在该点连续且左右两侧的导数相等，也就是说，只要满足这两个条件，函数在该点的导数就存在。设a=函数在该点连续，b=函数在该点左右两侧的导数相等
则函数在某点满足条件集合{a，b}，则函数在该点就可导

导函数在该点也连续，就意味着导函数在该点的左右极限相等且等于该店的。设c=导函数在该点的左右极限存在，d=导函数在该点的左右极限等于该点的导函数值，
则导函数在某点满足条件集合{c，d}，则导函数在该点就连续

由函数在某一点可导推出其导函数在这一点连续

则可以等价转化为为——由条件集合{a，b}能够推出条件集合{c，d}

显然由 由条件集合{a，b}是不能够推出条件集合{c，d}的

所以函数在某一点可导，其导函数在这一点不一定连续

为什么，你自己可以先考虑一下

Answer 2

可以这样来构造这个函数：
令f(x)=|x|，f(x)在R上连续，但在x=0上不可导
令g(x)=∫f(x)dx
=∫|x|dx
=x^2/2+C (x>=0)
-x^2/2+C (x<0)
所以分段函数g(x)在x=0处可导，但其导函数f(x)在x=0不可导

Answer 3

一定