Question

函数在一点上没有定义,那么函数在这一点上一定不连续吗？

Answer 1

首先，连续的定义是f（x）在x=x0点处的极限值等于函数值。
所以从定义就可以看到，如果f（x）在x=x0点处都没定义的话，就不可能有函数值，当然就不可能满足极限值等于函数值的要求，就不可能连续。
至于你说的“讨论函数f(x)=x^2sin1/x (x≠0) 0 (x=0)在点x=0处的连续性与可导性
但是像这道题，x在0除没有定义，那还为什么要讨论在x=0处的连续性和可导性呢”
是你理解错误。
这是个分段函数，在x≠0的时候，函数式是x^2sin1/x (x≠0)，而在x=0的时候，人为的把函数值定义为0（0 (x=0)）
所以这个函数在x=0点处是有定义的，定义的函数值就是f（0）=0。
其实就是原本函数式x^2sin1/x虽然在x=0点处无定义，但是当x趋近于0的时候，有极限，极限=0，所以人为的补充x=0处的函数值为f（0）=0的话，就把原来不连续的函数化为连续的函数了。所以x=0这类点被称为x^2sin1/x的可去间断点，虽然是间断点，但是可以人为改变间断点处函数值的定义来化为连续函数。
你对分段函数的理解不到位啊。