Question

已知函数f（x）=3x+cos2x+sin2x，且a=f′（π4），f′（x）是f（x）的导函数，则过曲线y=x3上一点P（a，b

已知函数f（x）=3x+cos2x+sin2x，且a=f′（π4），f′（x）是f（x）的导函数，则过曲线y=x3上一点P（a，b）的切线方程为______．

Answer 1

由f（x）=3x+cos2x+sin2x，得到：f′（x）=3-2sin2x+2cos2x，
且由y=x³，得到y′=3x²，
则a=f′(

π

4

)=3-2sin

π

2

+2cos

π

2

=1，
把x=1代入y′=3x²中，解得切线斜率k=3，
且把x=1代入y=x³中，解得y=1，所以点P的坐标为（1，1），
若P为切点则由点斜式得，曲线上过P的切线方程为：y-1=3（x-1），即3x-y-2=0．
若P不为切点，则设切点为（m，n），切线斜率为3m²，
则3m²=

n?1

m?1

，n=m³，解得m=-

1

2

，
则切线方程为：3x-4y+1=0．
故答案为：3x-y-2=0或3x-4y+1=0．