Question

阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘 记为a n ，记为a n ．如2×2×2=2 3 =8，此时，3叫做以2为底

阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘 记为a n ，记为a n ．如2×2×2=2 3 =8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log 2 8（即log 2 8=3）．一般地，若a n =b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b=n）．如3 4 =81，则4叫做以3为底81的对数，记为log 3 81（即log 3 81=4）．（1）计算以下各对数的值：log 2 4= 　 　 ，log 2 16= 　 　 ，log 2 64= 　 　 ．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log 2 4、log 2 16、log 2 64之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N= 　 　 ；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n ?a m =a n+m 以及对数的含义证明上述结论．

Answer 1

（1）2   4   6 （2）log 2 4+log 2 16=log 2 64 （3）log a （MN） （4）首先可设log a M=b 1 ，log a N=b 2 ，再根据幂的运算法则：a n ?a m =a n+m 以及对数的含义证明结论．

试题分析：首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系． （1）根据对数的定义求解； （2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log 2 4+log 2 16=log 2 64； （3）有特殊到一般，得出结论：log a M+log a N=log a （MN）； （4）首先可设log a M=b 1 ，log a N=b 2 ，再根据幂的运算法则：a n ?a m =a n+m 以及对数的含义证明结论． 解：（1）log 2 4=2，log 2 16=4，log 2 64=6； （2）4×16=64，log 2 4+log 2 16=log 2 64； （3）log a M+log a N=log a （MN）； （4）证明：设log a M=b 1 ，log a N=b 2 ， 则 =M， =N， ∴MN= ， ∴b 1 +b 2 =log a （MN）即log a M+log a N=log a （MN）． 点评：本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．