Question

已知函数f（x-1）为奇函数，函数f（x+3）为偶函数，f（0）=1，则f（8）=______

已知函数f（x-1）为奇函数，函数f（x+3）为偶函数，f（0）=1，则f（8）=______．

Answer 1

∵函数f（x+3）为偶函数，
∴f（x+3）=f（-x+3），
∴f（8）=f（5+3）=f（-5+3）=f（-2）；
又函数f（x-1）为奇函数，f（0）=1，
∴f（-2）=f（-1-1）=-f（1-1）=-f（0）=-1，
∴f（8）=-1．
故答案为：-1．

Answer 2

分析：由f（x-1）为奇函数可得，f（-2）=f（-1-1）=-f（1-1）=-f（0）=-1，函数f（x+3）为偶函数⇔f（x+3）=f（-x+3），从而f（8）=f（-2）=-1．
解答：解：∵函数f（x+3）为偶函数，
∴f（x+3）=f（-x+3），
∴f（8）=f（5+3）=f（-5+3）=f（-2）；
又函数f（x-1）为奇函数，f（0）=1，
∴f（-2）=f（-1-1）=-f（1-1）=-f（0）=-1，
∴f（8）=-1．
故答案为：-1．
点评：本题考查函数奇偶性的性质，求得f（-2）=-1是关键，考查学生理解奇偶函数的性质并灵活转化运用的能力，属于中档题．