Question

已知f（x-1）为奇函数，f（x+1）为偶函数，f（2008）=1，则f（4）=______

已知f（x-1）为奇函数，f（x+1）为偶函数，f（2008）=1，则f（4）=______．

Answer 1

∵f（x-1）为奇函数，f（x+1）为偶函数
∴f（-x-1）=-f（x-1），f（-x+1）=f（x+1）恒成立
∴在f（-x-1）=-f（x-1）中，令t=x-1，则x=t+1，故有f（-t-2）=-f（t）①
在f（-x+1）=f（x+1）中令t=x+1，则有x=t-1，故有f（t）=f（-t+2）②
由①②得-f（-t-2）=f（-t+2）③，
再令m=-t+2，则t=-m+2，代入③得f（m）=-f（m-4）=f（m-8），由此知函数的周期是8
又2008=251×8
故有f（2008）=f（0）=1
由③知f（4）=-f（0）=-1
故答案为-1