Question

已知二次函数的图象如图所示，（1）求二次函数的解析式及顶点M的坐标；（2）若点N为线段BM上的一点，过点

已知二次函数的图象如图所示，（1）求二次函数的解析式及顶点M的坐标；（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作NQ⊥X轴于点Q，当点N在BM上运动时（点N不与点B、点M重合），设NQ的长为t，四边形NQAC的面积______为S，求S与t之间的函数关系式及自变量的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-2），
将x=0，y=-2代入得：a=1，
∴抛物线y=x²-x-2=（x-

1

2

）²-

9

4

，
∴顶点M的坐标为（

1

2

，-

9

4

）；

（2）抛物线与y=x²-x-2与x轴的两交点为A（-1，0），B（2，0），
设线段BM所在直线的解析式为y=kx+b，
则

2k+b＝0 1 2 k+b＝? 9 4

，
解得

k＝ 3 2 b＝?3

；
故线段BM所在直线的解析式为y=

3

2

x-3，
设点N的坐标为（x，-t），
∵点N在线段BM上，
∴-t=

2

3

x-3，
∴x=-

3

2

t+2，
∴S_{四边形NQAC}=S_△AOC+S_梯形OQNC=

1

2

×1×2+

1

2

×（2+t）×（-

2

3

t+2）=-

1

3

t²+

1

3

t+3，
∴S与t之间的函数关系式为S=-