Question

（2011?南充）如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论

（2011?南充）如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B，C，D在一条直线上，点M是AE的中点，下列结论：①tan∠AEC= ；②S △ABC +S △CDE ≥S △ACE ；③BM⊥DM；④BM=DM．正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

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Answer 1

D

∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形， ∴AB=BC，CD=DE， ∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°， ∴∠ACE=90°； ∵△ABC∽△CDE ∴ = = ①∴tan∠AEC= ， ∴tan∠AEC= ；故本选项正确； ②∵S △ABC = a 2 ，S △CDE = b 2 ，S 梯形 ABDE = （a+b） 2 ， ∴S △ACE =S 梯形 ABDE ﹣S △ABC ﹣S △CDE =ab， S △ABC +S △CDE = （a 2 +b 2 ）≥ab（a=b时取等号）， ∴S △ABC +S △CDE ≥S △ACE ；故本选项正确； ④过点M作MN垂直于BD，垂足为N． ∵点M是AE的中点， 则MN为梯形中位线， ∴N为中点， ∴△BMD为等腰三角形， ∴BM=DM；故本选项正确； ③又MN= （AB+ED）= （BC+CD）， ∴∠BMD=90° ， 即BM⊥DM；故本选项正确． 故选D．