Question

如图，圆O的直径为5，在上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与

如图，圆O的直径为5，在上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点。 （1）求证：AC·CD=PC·BC；（2）当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；

Answer 1

解：（1）由题意，∵AB是⊙O的直径； ∴∠ACB=90°， ∵CD⊥CP， ∴∠PCD=90°， ∴∠ACP+∠BCD=∠PCB+∠DCB=90°， ∴∠ACP=∠DCB， 又∵∠CBP=∠D+∠DCB，∠CBP=∠ABP+∠ABC， ∴∠ABC=∠APC， ∴∠APC=∠D， ∴△PCA∽△DCB； ∴ ， ∴AC·CD=PC·BC； （2）当P运动到AB弧的中点时，连接AP，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB=90°， 又∵P是弧AB的中点， ∴弧PA=弧PB， ∴AP=BP， ∴∠PAB=∠PBA=45°， 又AB=5， ∴PA= ， 过A作AM⊥CP，垂足为M，在Rt△AMC中，∠ACM=45°， ∴∠CAM=45°， ∴AM=CM= ， 在Rt△AMP中，AM 2 +AP 2 =PM 2 ， ∴PM= ， ∴PC=PM+ = ， 由（1）知：AC·CD=PC·BC，3×CD=PC×4， ∴CD= 。