Question

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）=1． （Ⅰ）求f（x）的解

已知函数f（x）=ax3+bx2+cx+a2（a＞0）的单调递减区间是（1，2），且满足f（0）=1． （Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）对任意m∈（0，2]，关于x的不等式f(x)＜12m3?mlnm?mt+72在x∈（-∞，1]上恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由已知得，f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵函数f（x）=ax³+bx²+cx+a²的单调递减区间是（1，2），
∴f′（x）＜0的解是1＜x＜2，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c=0的两个根分别是1和2，且a＞0
从f（0）=a²=1且 a＞0可得a=1
又

f′(1)＝3+2b+c＝0 f′(2)＝12+4b+c＝0

得

b＝? 9 2 c＝6

∴f(x)＝x3?

9

2

x2+6x+1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）=3x²-9x+6=3（x-1）（x-2），
∴x∈（-∞，1]时，f′（x）＞0，f（x）在（-∞，1]上是增函数
对x∈（-∞，1]，当x=1时，f(x)max＝f(1)＝

7

2

要使f(x)＜

1

2

m3?mlnm?mt+

7

2

在x∈（-∞，1]上恒成立，
即

1

2

m3?mlnm?mt+

7

2

＞f(x)max

1

2

m3?mlnm?mt+

7

2

＞

7

2

，
即mt＜

1

2

m3?mlnm对任意m∈（0，2]恒成立，
即t＜

1

2

m2?lnm对任意m∈（0，2]恒成立，
设h(m)＝

1

2

m2?lnm，m∈(0，2]，则t＜h（m）_minh′(m)＝m?

1

m

＝

m2?1

m

＝

(m?1)(m+1)

m

，令h′（m）=0，得m=1或m=-1
在m∈（0，2]，h′（m）的符号与h（m）的单调情况如下表：

m	（0，1）	1	（1，2）	2
h′（m）	-	0	+	0
h（m）	↘	极小值	↗	极大值

∴m=1时，h(m)min＝h(m)极小值＝

1

2

，
∴t＜

1

2