Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB=2，M，N分别为PA，BC的中点，（Ⅰ）证

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PA=AB=2，M，N分别为PA，BC的中点，（Ⅰ）证明：MN∥平面PCD；（Ⅱ）求MN与平面PAC所成角的正切值。

Answer 1

解：（Ⅰ）取PD的中点E，连接ME，CE， ∵M，N分别为PA，BC的中点， ∴ ， ∴ ， ∴MNCE是平行四边形， ∴MN∥CE， ∵CE 平面PCD，MN 平面PCD， ∴MN∥平面PCD。 （Ⅱ）作NF⊥AC于F，连接MF， ∵PA⊥平面ABCD， ∴PA⊥NF， 又∵PA∩AC=A， ∴NF⊥平面PAC， ∴∠FMN是MN与平面PAC所成的角， 在Rt△MFN中， ， ， ∴ ， ∴ 。