Question

已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，角B所对的边b= 3 ，且函数f（x）=2 3

已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，角B所对的边b= 3 ，且函数f（x）=2 3 sin 2 x+2sinxcosx一 3 在x=A处取得最大值．（1）求函数f（x）的值域及周期；（2）求△ABC的面积．

Answer 1

（1）△ABC的边b= 3 ，它的三个内角A，B，C成等差数列，∴2B=A+C，再由三角形的内角和公式求得B= π 3 ，A+C= 2π 3 ． 又函数f（x）=2 3 sin 2 x+2sinxcosx一 3 =2 3 ? 1-cos2x 2 +sin2x- 3 =- 3 cos2x+sin2x=sin（2x- π 3 ）， 故有正弦函数的定义域和值域可得函数f（x）的值域为[-2，2]，且最小正周期为 2π 2 =π． （2）由于函数f（x）在x=A处取得最大值，故有sin（2A- π 3 ）=1，∴2A- π 3 = π 2 ，A= 5π 12 ，故C= π 4 ． 再由正弦定理可得 3 sin π 3 = c sin π 4 ，求得c= 2 ，∴△ABC的面积为 1 2 bc?sinA= 1 2 × 3 × 2 ×sin（ π 4 + π 6 ） = 6 2 （ 2 2 × 3 2 + 2 2 × 1 2 ）= 3+ 3 4 ．