Question

计算?2xzdydz+yzdzdx-z2dxdy，其中∑是由曲面z=x2+y2与z=2?x2?y2所围立体的表面外侧

计算?2xzdydz+yzdzdx-z2dxdy，其中∑是由曲面z=x2+y2与z=2?x2?y2所围立体的表面外侧．

Answer 1

解答：I=

?

2xzdydz+yzdzdx-z²dxdy=

?

Ω

zdxdydz
其中，积分区域Ω={（x，y，z）|

x2+y2

≤z≤

2?x2?y2

}．
接下来利用柱坐标计算三重积分．
由于 z=

x2+y2

与z=

2?x2?y2

的交线为

x2+y2＝1 z＝1

，
故积分区域Ω={（r，θ，z）|0≤θ≤2π，0≤r≤1，r≤z≤

2?r2

}，
I=

∫

2π 0

dθ

∫

1 0

rdr

∫

2?r2 r

z dz=2π

∫

1 0

(1?r2)rdr=

π

2

．

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示