Question

如图，已知以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线y=ax 2 +bx+c经过

如图，已知以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，抛物线y=ax 2 +bx+c经过A，B，C三点，顶点为F．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求抛物线的解析式及顶点F的坐标；（3）已知M为抛物线上一动点（不与C点重合），试探究：①使得以A，B，M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；②若探究①中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与⊙E的位置关系，并说明理由．

Answer 1

（1）∵以E（3，0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A，B两点， ∴A（-2，0），B（8，0）． 如解答图所示，连接CE． 在Rt△OCE中，OE=AE-OA=5-2=3，CE=5， 由勾股定理得：OC= CE 2 - OE 2 = 5 2 - 3 2 =4． ∴C（0，-4）． （2）∵点A（-2，0），B（8，0）在抛物线上， ∴可设抛物线的解析式为：y=a（x+2）（x-8）． ∵点C（0，-4）在抛物线上， ∴-4=a×2×-8，解得a= 1 4 ． ∴抛物线的解析式为：y= 1 4 （x+2）（x-8）= 1 4 x 2 - 3 2 x-4= 1 4 （x-3） 2 - 25 4 ∴顶点F的坐标为（3，- 25 4 ）． （3）①∵△ABC中，底边AB上的高OC=4， ∴若△ABC与△ABM面积相等，则抛物线上的点M须满足条件：|y M |=4． （I）若y M =4，则 1 4 x 2 - 3 2 x-4=4， 整理得：x 2 -6x-32=0，解得x=3+ 41 或x=3- 41 ． ∴点M的坐标为（3+ 41 ，4）或（3- 41 ，4）； （II）若y M =-4，则 1 4 x 2 - 3 2 x-4=-4， 整理得：x 2 -6x=0，解得x=6或x=0（与点C重合，故舍去）． ∴点M的坐标为（6，-4）． 综上所述，满足条件的点M的坐标为：（3+ 41 ，4），（3- 41 ，4）或（6，-4）． ②直线MF与⊙E相切．理由如下： 由题意可知，M（6，-4）． 如解答图所示，连接EM，MF，过点M作MG⊥对称轴EF于点G， 则MG=3，EG=4． 在Rt△MEG中，由勾股定理得：ME= MG 2 + EG 2 = 3 2 + 4 2 =5， ∴点M在⊙E上． 由（2）知，顶点F的坐标（3，- 25 4 ），∴EF= 25 4 ， ∴FG=EF-EG= 9 4 ． 在Rt△MGF中，由勾股定理得：MF= MG 2 + FG 2 = 3 2 + ( 9 4 ) 2 = 15 4 ． 在△EFM中，∵EM 2 +MF 2 =5 2 +（ 15 4 ） 2 =（ 25 4 ） 2 =EF 2 ， ∴△EFM为直角三角形，∠EMF=90°． ∵点M在⊙E上，且∠EMF=90°， ∴直线MF与⊙E相切．