Question

（2014?海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2-（m+n）x+n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点

（2014?海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2-（m+n）x+n（m＜0）的图象与y轴正半轴交于A点．（1）求证：该二次函数的图象与x轴必有两个交点；（2）设该二次函数的图象与x轴的两个交点中右侧的交点为点B，若∠ABO=45°，将直线AB向下平移2个单位得到直线l，求直线l的解析式；（3）在（2）的条件下，设M（p，q）为二次函数图象上的一个动点，当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，求m的取值范围．

Answer 1

解：（1）令mx²-（m+n）x+n=0，则
△=（m+n）²-4mn=（m-n）²，
∵二次函数图象与y轴正半轴交于A点，
∴A（0，n），且n＞0，
又∵m＜0，
∴m-n＜0，
∴△=（m-n）²＞0，
∴该二次函数的图象与轴必有两个交点；

（2）令mx²-（m+n）x+n=0，
解得：x₁=1，x₂=

n

m

，
由（1）得

n

m

＜0，故B的坐标为（1，0），
又因为∠ABO=45°，
所以A（0，1），即n=1，
则可求得直线AB的解析式为：y=-x+1．
再向下平移2个单位可得到直线l：y=-x-1；

（3）由（2）得二次函数的解析式为：y=mx²-（m+1）x+1．
∵M（p，q） 为二次函数图象上的一个动点，
∴q=mp²-（m+1）p+1．
∴点M关于轴的对称点M′的坐标为（p，-q）．
∴M′点在二次函数y=-m²+（m+1）x-1上．
∵当-3＜p＜0时，点M关于x轴的对称点都在直线l的下方，
当p=0时，q=1；当p=-3时，q=12m+4；     
结合图象可知：-（12m+4）≤2，
解得：m≥-

1

2

．
∴m的取值范围为：-

1

2

≤m＜0．