Question

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,P是椭圆上任意一点，

已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,P是椭圆上任意一点，若以坐标原点为圆心，椭圆短轴轴长为直径的园经过椭圆的焦点，且三角形PF1F2的周长为4+2根号2.。 （1）已求得椭圆为 x^2/4+y^2/2=1 （2）设直线l是圆O:x^2+y^2=4/3上动点P（x0,y0）(x0*y0不等于0)处的切线，l是椭圆C交与不同的两点Q,R,证明：<QOR的大小是个定值。 x^2/4+y^2/2=1 ：请求第二问： （2）设直线l是圆O:x^2+y^2=4/3上动点P（x0,y0）(x0*y0不等于0)处的切线，l是椭圆C交与不同的两点Q,R,证明：<QOR的大小是个定值。

Answer 1

设Q(x1y1)，R(x2，y2)，QR：y=kx+n 由题意得|n|/√(k+1)=√(4/3)即3n=4k+4 联立x/4+y/2=1 y=kx+n 得，(2k+1)x+4knx+2n-4=0 所以x1+x2=-4kn/(2k+1) x1x2=(2n-4)/(2k+1) 所以向量OQ*向量OR=x1x2+y1y2=(k+1)x1x2+kn(x1+x2)+n=(3n-4k-4)/(2k+1)=0 所以∠QOR＝90°

Answer 2

设Q(x1y1)，R(x2，y2)，QR：y=kx+n 由题意得|n|/√(k+1)=√(4/3)即3n=4k+4 联立x/4+y/2=1 y=kx+n 得，(2k+1)x+4knx+2n-4=0 所以x1+x2=-4kn/(2k+1) x1x2=(2n-4)/(2k+1) 所以向量OQ*向量OR=x1x2+y1y2=(k+1)x1x2+kn(x1+x2)+n=(3n-4k-4)/(2k+1)=0 所以∠QOR＝90°