抽象代数三百题：群、子群、陪集和循环群 - 草稿
1.2.5.举出一个半群的例子，它不是含么半群；再举出一个含么半群的例子，它不是群.
1.2.6 .（这可作为群的另一定义，即群的单边定义）设 是一个半群，如果
（a） 中含有左幺元 ，即对任意 .
（b） 的每个元 有左逆 ，使得 .
试证 是群.
1.2.7 .（这可作为群的另一定义：即群的除法定义）设 是半群，若对任意 ，方程 和 在 内有解，则 是群.
1.2.8 .（这可作为有限群的另一定义）设 是一个有限半群，如果在 内左右消去律均成立，即由 或 可推出 ，则 是群.
1.2.12.证明有理数加法群 和非零有理数乘法群 不同构.
1.2.13.证明：
（1）有理数加法群 和正有理数乘法群 不同构.
（2）实数加法群 同构于正实数乘法群 .
1.2.16 .求有理数加法群 的自同构群 .
1.2.19 .群 的自同构 称为没有不动点的自同构，是指对 的任意元 有 .如果有限群 具有一个没有不动点的自同构 且 ，则 一定是奇数阶 群.
1.2.20 .设 是群 的两个元，满足 .试证 .
1.3.3.设群 中两个元 可换， .记 分别是 的最大公因子和最小公倍数.则
（1）(1)
（2） 中存在阶为 的元；
（3） 中存在阶为 的元。
1.3.11.设 .如果存在 ，使得 ，则
1.3.14 .设 ，试证 .
1.3.15 .试证有限群 的一个真子群的全部共轭子群之并不能覆盖整个群 .结论对无限群是否成立？
1.3.16 .设H和K分别是有限群G的两个子群，试证：
1.3.17 .设 是群 的具有有限指数的子群，试证：存在 的一组元 ，它们既可以作为 在 中的右陪集代表元系，又可以作为 在 中的左陪集代表元系.
1.3.18 .令 是主对角线上的元均为 的 上三角方阵全体形成的G的子群.确定 ， 和 的中心 .
1.3.19 .设 是有限 群，试证 对应到 是 的一个自同构当且仅当 和 互素.
1.3.20 .设 是奇数阶有限群， 且 .令 .
试证： 且 .
1.3.21 .设群 的元 满足 ，其中 和 是互素的正整数.则 .
1.4.1.证明 定理：若 是正整数， 是与 互素的整数，则
，其中 是 函数，即 是与 互素的不超过 的正整数的个数.
特别地，若 是素数，则得到 小定理：
1.4.3.群 没有非平凡子群的充分必要条件是 或是素数阶循环群.
1.4.6 .如果有限群 有唯一的极大子群，则 是素数幂阶循环群.
1.4.8.设 是一个素数， ，则 对于复数的乘法作成群.试证 的任意真子群都是有限阶的循环群.
1.4.9.若群 只有有限多个子群，则 是有限群.
1.4.10 .有理数加法群 不是循环群，但它的任意有限生成的子群都是循环群.
1.4.11 .在 阶循环群 中，对 的每个正因子 ，阶为 的元恰好有 个，其中 是与 互素且不超过 的正整数的个数.由此证明等式
1.4.12 .设 是一个 阶有限群，若对 的每一个因子 中至多只有一个 阶子群，则 是循环群.
1.4.13*.群 是循环群当且仅当 的任一子群形如 ，其中 是非负整数.
