Question

高三一道数学题，谁会做？

医药专家门研制出一种治疗某肺炎的抗生素，据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种抗生素，注射药液后每毫升血液中的含药量y（微克）与时间t(小时）之间的关系近似地满足如图所示的曲线。其中0A是线段，ABC是曲线。
如图：

据临床观察，没毫升血液中的含药量应保持不少于2微克时，控制该肺炎的病情是有效的，假若病人第一次注射药液为某一天早上6：00，为了保持药效，第二次注射药液最迟应在当天几点钟？
以算出在AB段中，有点（0.25，2）曲线中有点（5，2）
那么应几点注射，10：45还是11：00

Answer 1

我认为答案应该是11：00吧
关于你同学的想法“之后一个降一个升，可以保持2微克。”，这是对的，事实上比2微克还要多，因为线段的上升速率比曲线的下降速率要快得多。我们可以用导数来解释，如果题目中还有别的条件可以确定曲线f(x)的函数解析式，那就写出过点(5,0)的直线解析式g(x)，构造函数h(x)=f(x)+g(x)，可证h(x)导为正，而h(5)=2,所以h(x)≥2。如果没有具体解析式，那只好观察图像粗略判断一下，在点（5，2）处曲线的切线斜率为负，绝对值小于线段AB的斜率，所以上升的速率还是更快。
其实这道题出题人并没让你考虑这么多吧，问最迟在什么时候，那就写后面的时间就好了。。。不过，你想得挺多，对于数学的学习这是很好的，而且还要想得更多更深，把不确定的信息，运用数学工具确定下来，那答案就清晰了。

追问

f（x）与g（x）的解析式都有，因为算的都对，被我省了，那么、、、接下来怎么做？

追答

ok。你们肯定复习完导数了吧
11:00注射也就是过(5,0)点做AB的平行线，把这条线段的解析式求出来，设为g(x)，曲线的是f(x)，那么11:00以后的含药量就是h(x)=f(x)+g(x)，显然h(5)=f(5)+g(5)=2，证明h(x)的导数大于0，说明h(x)单增，所以x>5时，h(x)>2。这是证明方法，就题目而言应该不用证。

Answer 2

这样理解：药的有效时间是：5-0.25=4.75(小时)
在注射药到有效的时间是0.25小时。下次注射药，需要在有效期结束前0.25小时前注射。
6+5-0.25=10.75（小时）

应该是10：45

追问

找到知音了，我同学的意思是，11：00开始打，之后一个降一个升，可以保持2微克。
我觉得他的想法不科学！！！

追答

这个吧，从这道题的角度来说，给的数据不详细。没有具体的数据支持，升降放一起不能算出可以保持2微克的。直线可以做出函数，曲线却不能。所以，题目没有考查那么多的内容。
但是从医学角度来说，为了患者好，需要提前注射。

Answer 3

第二次注射药液最迟应在当天11:00
(1)、可分别求出函数解析式
线段OA：y=8x (0≤x≤√5/2)
曲线ABC：y=10/x (x＞√5/2)
(2)将OA向右平移5个单位得函数解析式为：
y=8(x-5)=8x-40
此时血液中含药量y=8x-40+10/x
当x≥5时，y≥2
所以第一次注射与第二次注射的间隔时间为5小时
第一次6:00时注射，第二次就应11:00时注射。

追问

这根本不是反比例函数，原函数是指数函数的变形，只不过计算过程被我省略了