Question

已知P是双曲线x2/a2-y2/b2=1上除顶点外任意一点,F1,F2为左右焦点,C为半焦距，△P

已知P是双曲线x2/a2-y2/b2=1上除顶点外任意一点,F1,F2为左右焦点,C为半焦距，△PF1F2内切圆与F1F2切于点M,则ⅠF1M|×|F2M|的值为？

Answer 1

如图:

内切圆交F1F2于点M，与F1P交于点A，与F2P交于点B。

根据双曲线定义，|F1P|-|F2P|=2a

即是

|F1A|+|AP|-|PB|-|F2B|=2a

因为A、B是切点，所以|PA|=|PB|

即是

|F1A|-|F2B|=2a

又M是切点，所以

|F1A|=|F1M|

|F2B|=|F2M|

即是

|F1M|-|F2M|=2a ……1式

并且

|F1M|+|F2M|=2c ……2式

将1式和2式分别两边平方得到：

|F1M|^2+|F2M|^2-2|F1M|*|F2M|=4a^2 ……3式

|F1M|^2+|F2M|^2+2|F1M|*|F2M|=4c^2 ……4式

4式减去3式，得到：

4|F1M|*|F2M|=4c^2-4a^2=4b^2

所以：

|F1M|*|F2M|=b^2