Question

f(x)=-x^2+2ax+1在区间[0,1]上有最大值2,求a的值

Answer 1

f(x)=-x^2+2ax+1
=-(x^2-2ax+a^2)+a^2+1
=-(x-a)^2+a^2+1
开口向下，对称轴为x=a
1°当a<0时，则函数在[0，1]上单调递减
则最大值为f(0)=1，不满足题意，舍去
2°当0≤a≤1时，函数在x=a时取得最大值
即f(a)=a^2+1=2，则a±1
其中a=1满足题意
3°当a>1时，则函数在[0，1]上单调递增
则最大值为f(1)=2a=2，即a=1，不满足题意，舍去
综上所述：a=1

Answer 2

f(x)=-x^2+2ax+1
=-(x^2-2ax+a^2)+1+a^2
=-(x-a)^2+1+a^2
当a<0时，f(x)的最大值为f(0)=1,不满足题意
当0≤a≤1时,f(x)的最大值为f(a)=1+a^2=2,解得：a=1
当a≥1时,f(x)的最大值为f(1)=-(1-a)^2+1+a^2=-1+2a-a^2+1+a^2=2a=2,解得a=1
综上可得：a=1

Answer 3

f′(x)=-2x+2a
令f′(x)=0
得x=a
x＜a的时候，f′(x)＜0,所以f(x)在区间（-∞，a）时单调递减，
在区间[a，∞）是单调递增。
现在就是分情况讨论，
如果a＜0
那么f(x)在区间[0,1]，根据单调性，在x=1的时候去的最大值，且为f(x)=-1+2a+1=2a，最大为2
求得a=1，跟a＜0矛盾，所以这种情况不成立。
如果0≦a≦1，
那么f(x)在区间[0,1]，根据单调性，在x=1或者x=0取得最大值，所以先计算它们的大小再比较大小

此时f(0)=1,f(1)=2a.所以可以得到当0≦a≦0.5的时候最大值f(x)=1, 不成立！
当0.5≦a≦1的时候 最大值 为f(x)=2a.算的，a=1,符合5≦a≦1的条件，
所以a=1成立！
最后a＞1的时候，根据单调性，在x=0的时候取得最大值，为f（x）=1.不成立！
综上所述，
只有在a=1的时候满足条件！
所以a=1

Answer 4

fx=-（x-a）^2+a^2+1
x=a时最大，为a^1+1
a^1+1=2 可以得到a=1,或者-1
但是-1不在[0,1]中，因此a=1

Answer 5

因为在[0,1]之间有最大值为2,所以：x=0.5 y=2代入方程可知a= 0.75