Question

如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，∠EDC：∠EDA=1：3，且AC=10，求DE的长度．

我要详细过程，顺便说说那个根号二是怎么来的

Answer 1

找AC的中点O，连接OD
∵∠EDC∶∠EDA=1∶3，∠EDC+∠EDA=90°
∴∠EDC=90/（1+3）=22.5°
那么，∠EDA=67.5°
∵DE⊥AC,所以∠AED=90°,∠ADE=67.5°,
∴∠EAD=22.5°
∵四边形ABCD是矩形,
∴AO=DO,∠ODA=∠OAD=22.5°
∴∠DOE=∠OAD+∠ODA=45°，∠EDO=∠OED-∠DOE=45°
∴OE=DE
∵AC=10
∴DO=AO=5
∴在直角三角形DEO中,由勾股定理得:
OE²+DE²=OD²
2DE²=DO²
DE²=DO²/2
∴DE=(√2/2)DO
DE=5√2/2

Answer 2

连接BD交AC于O;
在矩形ABCD中，∠ADC=90°
∵∠EDC：∠EDA=1：3,∠EDC＋∠EDA＝∠ADC=90°
∴∠EDC＝67.5°,∠EDA=22.5°

又DE⊥AC
∴∠DEA＝90°＝∠ADC
∴∠DAE＝90°－∠ADE＝90°－67.5°＝22.5°

在矩形ABCD中,OA＝½AC＝½BD＝OD＝5

∴∠ADO＝∠DAO＝22.5°

∴∠DOE＝∠ADO＋∠DAO＝45°

∴∠ODE＝90°－∠DOE＝90°－45°＝45°＝∠DOE

∴OE＝DE

OE²＋DE²＝OD²即2DE²＝5²

∴DE＝5√2/2

Answer 3

解：∵∠EDC：∠EDA=1：3 ，∠EDC+∠EDA=90°
∴∠EDC=22.5° ∠EDA=67.5°
矩形中AC=BD, 设对角线交点为O，有OA=OB=OC=OD=5。
∵∠DEC=90°
∴∠OCD=90°-∠EDC=67.5° ∠ODE=∠OCD=67.5°
∴∠DOE=45°
∴OE=DE
由勾股定理，OE²+DE²=OD²=25
∴2DE²=25 DE²=25/2
∴DE=5根号2/2

Answer 4

解：连结BD，交AC于F，求得DF=（1/2）*AC=5；
因为，∠EDC：∠EDA=1：3，
所以，∠EDC=22.5度
∠CFD=2∠CAD=2∠EDC=45度
所以，DE=DF*sin∠CFD=5倍根号2