Question

在△ABC中,AB>AC,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC交BC于E

在△ABC中,AB>AC,AD⊥BC于D,AE平分∠BAC交BC于E。 （1）如图一，若∠BAD=60°，∠EAD=10°，则：∠ACB=（ ）°（2）如图二，若∠BAD=64°，∠EAD=11°，则：∠ACB=（ ）°（3）通过上面的计算，你发现∠ACB-∠B与∠EAD之间有怎样的数量关系？（4）在△ABC中，若∠ACB是钝角，如图三所示，那么（3）中的结论还成立么？ 说明理由。

Answer 1

(1)∵∠BAD=60°
∴∠BAD=∠BAE+∠EAD=∠EAC+10°=60°
故∠EAC=50°，∠DAC=50°-10°=40°
又∠ADC=90°
∴∠ACB=180°-∠DAC-∠ADC=50°

（2）同理可知∠ACB=180°-∠DAC-∠ADC=48°
（3）易知∠DAC+∠ACB=90°
而2(∠EAD+∠DAC)=∠BAC
且∠B+∠ACB+∠BAC=180°
代入可得∠B=180°-2(∠EAD+∠DAC)-∠ACB=180°-2[∠EAD+（90°-∠ACB）]-∠ACB
即∠B=∠ACB-2∠EAD
∴∠ACB-∠B=2∠EAD

（4）当∠ACB是钝角时，∠ACB=90°+∠CAD
而∠BAC=2∠EAC=2(∠EAD-∠CAD)=2(∠EAD+90°-∠ACB)
∵∠B+∠BAC+∠ACB=180°
代入可得：∠B+2(∠EAD+90°-∠ACB)+∠ACB=180°
即∠ACB-∠B=2∠EAD
故此时（3）中结论依然成立