Question

如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点

如图，在平面直角坐标系中，以点C（1，1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，开口向下的抛物线经过点A、B，且其顶点P在⊙C上．
（1）求∠ACB的大小；
（2）请直接写出A，B，P三点的坐标；
（3）试确定此抛物线的解析式；
（4）在该抛物线上是否存在点D，使△ABD面积等于△ABC面积的3倍？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

1. 做辅助线，CF⊥AB于F点，CF=1，CB=2，则勾股定律FB=√3，SinFCB=√3/2，

   所以∠FCB=60°，则∠ACB=60°*2=120°

2. OF=1，FB=√3,所以OB=1+√3，AO=1-√3,所以A(1-√3,0)B(1+√3,0)P(1,3)

3. 知道顶点，根据顶点式y=a(x-h)²+k，把定点代入y=a(x-1)²+3

   此抛物线经过A点，代入0=a（1-√3-1）²+3，得出a=-1

   所以此抛物线为y=-(x-1)²+3，即y=-x²+2x+2

4. 在抛物线上标个D点，做辅助线DH⊥AB于H点

    △ABC面积=AB*CF/2=2*1/2=1

   则△ABD面积=AB*DH/=2DH/2=3则DH=3，意味着D点y=3,

   代入抛物线内，3=-x²+2x+2，得出x=1

   即存在这样的D点，坐标为（1,3）其实此D点就是P点，也就是D点在顶点时，△ABD面积等于△ABC面积的3倍

Answer 2

1.角ACB=120°
2.A（1- 3^(1/2), 0); B(1+3^(1/2), 0)
3.y=-x^(2)+2x+2
4.D(0,2)
请果断给分

1.作CH垂直于x轴于H，根据题意CH=1，AC=2，显然ACH为角ACH=60°的直角三角形，同理BCH=60°，故ACB=120.
2.如1问中解答的，HA=HB=根号3，故可得A（1- 3^(1/2), 0); B(1+3^(1/2), 0)
3.依题意，设ax^2+bx+c=0
由对称轴为x=1得-b/2a=1,得b=-2a，
再另y=0，代入求根公式可得c=-2a，
即y=ax^2-2ax-2a
再代入顶点P（1,3）得a=-1，即得y=-x^(2)+2x+2
4.依题意，设OP与满足两条线段相互平分的CD‘交于I。如果D'在抛物线上则D’即为所求D点，若不在抛物线上，则不存在符合题意的D点。
要满足相互平分，则I点位OP中点，依照P的坐标可求得I（1/2,3/2）。
同时I又为CD‘中点，依C、I的坐标求得D’（0,2）。
把x=0代入抛物线方程发现y正好等于2，说明D‘即为所求的D点