Question

高中数学圆锥曲线与直线相交问题计算。

已知椭圆x^2/2+y^2/1两点，求三角形ABF2的面积=1的左右焦点分别为F1F2,若过点P(0,-2)及F1的直线交椭圆于AB

解：椭圆方程：x²/2+y²=1即x²+2y²=2
a²=2，b²=1
c²=1
c=1
点F1（-1，0）设直线为y=kx-2
代入F1解出k=-2
即y=-2x-2
代入椭圆方程，化简：9x²+16x+6=0
韦达定理
x1+x2=-16/9
x1×x2=2/3
AB=√(1+k²)[(x1+x2) ²-4x1x2]=√(1+4)[(-16/9) ²-4*(2/3)]=10√2/9
F2(1,0)
点F2到AB距离d=｜-2-2｜/√（1+4）=4/√5
S=1/2d×AB=1/2×10√2/9×4/√5=4√10/9

我想要知道AB=√(1+k²)[(x1+x2) ²-4x1x2]=√(1+4)[(-16/9) ²-4*(2/3)]=10√2/9 这一步是怎么来的。

韦达定理是x1+x2,x1x2.但是到高中有一些题目，比如双曲线的弦长需要y1+y2,y1y2. 这时候怎么求得y1+y2,y1y2?

这个我没怎么看懂。请大神们耐心仔细讲解一下。

Answer 1

这个题直线表达式联立椭圆表达式计算式 消去的变量是y 所以最后得到的是关于x的表达式 而有时候消去变量x对计算更加方便 即把直线表达式换算成x=my+n 这样联立得到的关系式里就只有y了 可以求出y1+y2 y1y2 比求出x1+x2 x1x2再求y1+y2 y1y2要方便很多

Answer 2

AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2=(1+k^2)*(x1-x2)^2=(1+k^2)*[(x1+x2)^2-4x1*x2]；
因为A、B都在直线y=kx+b上；

Answer 3

利用所设的两个点（x1,y1）,(x2,y2)也在直线上，y1+y2=（kx1-2）+（kx2-2),其中x1+x2就是上面的韦达定理。y1y2同理。