Question

定义在R上的函数f（x）满足，对于任意实数a，b总有f（a+b）=f（a）*f（b），当x＞0时，0＜f（x）＜1

f（1）=1/2

（1）证明函数f（x）在R上为减函数
（2）解关于x的不等式f(kx²-5kx+6k)*f(-x²+6x-7）＞1/4（k∈R）
（3）若x∈【-1，1】，求证 （8的k次幂+27的k次幂+1）/3≥【6的k次幂*f（x）】/2（k∈R）

Answer 1

(1)不妨设x1<x2 f(x2)=f(x1)*f(x2-x1)
因为x2-x1>0 所以0<f(x2-x1)<1
所以f(x2)<f(x1)
(2)f(a+b)=f(a)*f(b) f(2)=f(1)^2=1/4
f((k-1)x^2+(6-5k)x+6k-7))>f(2)
因为单调减 所以
（k-1）x^2+(6-5k)x+6k-7<2
(k-1)x^2+(6-5k)x+6k-9<0
用求根公式求解
（3）(2^3k+3^3k+1^3)/3>=1/3*3*3次根号下2^3k*3^3k*1=6^k
因为x属于【-1,1】所以f(x)的最大值为f(-1)
f(0)=1 f(-1)=2
证毕 看不懂M

追问

第三问怎么回事？没看懂怎么证明的。

追答

基本不等式啊 a^3+b^3+c^3>=3abc
f(x)/2的最大值是1啊
不就证明(2^3k+3^3k+1^3)/3>=6^k*1>=6^k*f(x)/2

Answer 2

hfs