设函数f(x)=log2 x-logx 4(0＜x＜1),数列｛an｝的通项an满足f(2∧an)=2n(n∈N*), 试问数列有没有最小项？
设函数f(x)=log2x-logx4(0＜x＜1),数列｛an｝的通项an满足f(2∧an)=2n(n∈N*),试问数列有没有最小项？...
设函数f(x)=log2 x-logx 4(0＜x＜1),数列｛an｝的通项an满足f(2∧an)=2n(n∈N*), 试问数列有没有最小项？
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解：由题意得：函数f(x)=log(2)(x)-log(x)(4)（0＜x＜1）
且an满足f(2^an)=2n（n∈N*）
则：log(2)(2^an)-log(2^an)(4)=2n，其中：0<2^an<1
即：an-2/an=2n（an<0）
两边同乘以an得：(an)²-2=2n*an
(an-n)²=n²+2
又因为：an<0
所以：an=n-√(n²+2)
对an求导：an′=1-n/√(n²+2)>0恒成立
所以数列{an}是增数列
当n=1时，an最小
即：最小项为a1=1-√3
且an满足f(2^an)=2n（n∈N*）
则：log(2)(2^an)-log(2^an)(4)=2n，其中：0<2^an<1
即：an-2/an=2n（an<0）
两边同乘以an得：(an)²-2=2n*an
(an-n)²=n²+2
又因为：an<0
所以：an=n-√(n²+2)
对an求导：an′=1-n/√(n²+2)>0恒成立
所以数列{an}是增数列
当n=1时，an最小
即：最小项为a1=1-√3
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