Question

设函数f(x)=alnx+x分之一,a∈R. (1) 求函数f(x)的单调区间

(2)当a＞0时，若对任意x＞0，不等式f(x)≥2a成立
(2)当a＞0时，若对任意x＞0，不等式f(x)≥2a成立，求a的取值范围

Answer 1

解答：
利用导数求解，函数的定义域为 x>0
（1）f'(x)=a/x-1/(x²)=(ax-1)/x²
① a=0, f'(x)恒负，∴ f(x)的单调减区间为（0，+∞）
② a>0, x>1/a,f'(x)>0,∴ f(x)的单调增区间为（1/a，+∞）
0<x<1/a,f'(x)<0,∴ f(x)的单调减区间为（0，1/a）
③ a<0 , f'(x)恒负，∴ f(x)的单调减区间为（0，+∞）
（2）
若对任意x＞0，不等式f(x)≥2a成立,即f(x)的最小值≥2a
由（1）f(x)的最小值为f(1/a)=aln(1/a)+a≥2a
∴ ln(1/a)≥1
∴ 1/a≥e
∴ 0<a≤1/e

Answer 2

这么难啊