Question

三重积分里的柱坐标变换和球坐标变换必须按照书上累次积分的顺序吗？

我做了1道题，发现柱坐标变换时，先积r后积z和先积z后积r求出来答案不一样，上下限我反复确定应该没错（原题：求曲面z=x^2+y^2和z=1围成空间体的体积）。如果确实顺序有影响，是为什么呢？

Answer 1

一般情况下先积z，后积r，有时可以最后积z
先积的变量变化范围是在函数之间，最后积的变量是在常数之间
先积z：
∫∫∫ 1 dxdydz
=∫∫(D) r drdθ∫[r²→1] 1 dz 二重积分区域D：x²+y²≤1
=∫[0→2π]dθ∫[0→1] r(1-r²) dr
=2π[(1/2)r²-(1/4)r^4] |[0→1]
=(1/2)π

后积z：
∫∫∫ 1 dxdydz
=∫[0→1] dz∫∫(Dz) 1 dxdy 二重积分区域Dz：x²+y²≤z
二重积分被积函数为1，积分结果是区域面积，也就是πz
=∫[0→1] πz dz
=(1/2)πz² |[0→1]
=(1/2)π

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追问

你后积z没有用柱坐标，∫[0→2π]dθ∫[0→1]dz ∫[0→z] rdr

追答

r的范围0→z不对的，应该是0→√z