Question

求极限问题.

求极限：Lim(((1+x)^(1/x))/e)^(1^x)
x->0
为什么在求极限的时候不能利用重要极限(1+x)^(1/x)=e,然后极限就等于1了呢？
本题答案为e^(1/2).

Answer 1

使用重要极限要看情况，需要注意重要极限同等价无穷小通常只在乘法与除法中做代换，而本题中最外层还有个(1^x)次幂（这里是不是打错了？应该是(1/x)次幂才有做的价值），并不能直接套用替换
求极限不能任意地对某一部分单独求极限，比如(1+x)^(1/x)趋近于0的极限，你不能说“(1+x)的极限是1，再求任意次幂还是1，所以最后结果是1”对吧，求极限的函数是一个整体，应该是所有的变量x同时趋近于x0时所得到的才是正确的结果，只有部分极限可以先求单独部分的极限再求整体

对于本题，先对函数取对数，于是极限变为e^Lim{ln[((1+x)^(1/x))/e)]/x}，再进一步变形化简得到e^Lim{[ln(1+x)-x]/x^2}，对ln(1+x)进行泰勒展开=x+1/2*x^2+o(x^2),其中o(x^2)是x^2的高阶无穷小
于是得到e^Lim{[1/2*x^2+o(x^2)]/x^2}=e^(1/2)
如果文字表述不好看明白，可以私信联系我，我可以把解题步骤用图片传给你看

Answer 2

你最后一个指数上的1^x是趋向于无穷大的。这个你没考虑进来。

追问

1的无穷大次方不还是1吗？

追答

(1+1/x)^x
这个在x趋向于无穷大的时候，按照你的说法
1+1/x→1，那么1的无穷大次方是1，所以极限为1？
但正确的答案应该是e吧（2个重要极限之一）？！
所以你这个说法不对。
刚才那个式子，你可以先取对数嘛，把指数给弄下来，然后用等价无穷小或者罗比塔法则做。纯文字的不好写过程给你看，还是你自己算吧。。。

追问

请注意我的里面用完重要极限后就直接为1了，根本没有像1/x一样的无穷小，所以你的举例是不正确的。