莱布尼茨三角形的函数微分
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早在1677年7月11日前后及11月左右,莱布尼茨明确定义了dy为函数微分,给出了dy的演算规则:
“如果a是给定的常数,则da=0,dax=adx;
加法和减法 v=z—y+w+x,dv=dz-dy+dw+dx;
乘法 y=vx,dy=vdx+xdv
在1676—1677年的手稿中,他利用特征三角形分析了曲线切线的变化情况:对于曲线v=v(x),当dv与dx之比为无穷大时,切线垂直于坐标轴(x轴).当dv与dx之比等于0时,切线平行于x轴,当dv=dx≠0时,则切线与坐标轴成45°角,他指出,对于曲线v,当dv=0时,“在这个位置的v,明显地就是极大值(或极小值)”,他详细讨论了当dv<0,而变成dv=0后又dv<0时取极大值,反之则取极小值的情形.他还给出了拐点——曲线的凹凸情况发生变法的条件是d2v=0.
以后,莱布尼茨具体求出了各种各样复杂函数的微商(导数).1686年,给出了对数函数,指数函数的微商.1695年求出了y=xx的微商dy=xx(1+lnx),等等.
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