Question

如图，AB是圆O的直径，BD交圆O于点C，AE平分角BAC，且角D=角CAB （1）求证：AD是圆O的切线

（2）若sin D =4：5 ，AD=6 求CE的长。

Answer 1

如图，AB是圆O的直径，BD交圆O于点C，AE平分∠DAC，且∠D=∠CAB
（1）求证：AD是圆O的切线
（2）若sin D =4：5 ，AD=6 求CE的长

1、∵AB是直径
∴∠ACB=90°
∴∠CAB+∠B=90°
∵∠D=∠CAB
∴∠D+∠B=90°
∴∠DAB=180°-(∠D+∠B)=90°
∴AB⊥AD
即AD是圆O的切线
2、AC⊥BD，AD⊥AB
∴sin D =AB/BD=AC/AD=4/5
AC=4/5AD=4/5×6=24/5=4.8
∴AD²-AC²=CD²
6²-4.8²=CD²
CD=3.6
∵AE平分∠DAC
∴根据角平分线定理：AC/AD=CE/ED=CE/(CD-CE)
4.8/6=CE/(3.6-CE)
6CE=4.8×(3.6-CE)
10.8CE=4.8×3.6
CD=1.6

Answer 2

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠D=∠CAB，∠B=∠B，
∴∠DAB=90°，
∴AD为⊙O的切线．

（2）解：∵sinD=0.8，AD=6，

∴AB=8，DB=10，
∵AB是⊙O的直径，AE平分∠BAC，EF⊥AB，
∴CE=FE，EF∥DA
∴∠FEB=∠D，
∵∠D=∠CAB，
∴sin∠FEB=sin∠CAB=0.8
∴BC=sin∠CAB×AB=0.8×8=6.4，
cos∠FEB=0.6
∴EF：EB=3：5，
∴CE：BE=3：5，
∴CE /BC =3/ 8 ，∴CE=BC×CE/BC=6.4×3/8 =2.4．
证毕！