Question

如图,已知△ABC中,∠ABC=90°,AD平分∠BAC,BE⊥AC于E,DF⊥于AC于F

EF=1，求点F到BC的距离

Answer 1

证明：连接BF;交AD于M
做FG⊥BC,交BC于G
则,求点F到BC的距离即是求线段FG的长
∵AD平分∠BAC DB⊥AB DF⊥AC（已知）
∴DB=DF(角平分线到角的两边距离相等)
且∠BDA=∠FDA
∵∠BDA=∠FDA,DB=DF,MD=MD
∴△BDM≌△FDM
∴∠BMD=∠FMD,BM=FM
∴AD垂直平分BF
∵BE⊥AC
∴∠DAC=∠EBF ∠BAD=∠FBD
又∵∠BAD=∠DAC
∴∠EBF=∠FBD
∴FG=FE=1(角平分线到角的两边距离相等)
则点F到BC的距离是1.

Answer 2

过F做FG垂直与BC于G，过D做DH垂直于BE于H
矩形FGEH，因此DH=EF=1
另外因为AD平分角BAC，三角形ABD全等于三角形AFD，有BD=FD
而DF//BE，因此角GDF = 角HBD, 直角三角形DGF全等于BHD，于是FG=DH=FE=1

Answer 3

设AE=X,AB=Y,H为点F到BC作垂线的垂足，h为F到BC的距离
由ΔAEB相似于ΔABC，得AE/AB=AB/AC,得AC=Y^2/X,得CF=Y^2/X-X-1
又AD是∠BAC的角平分线，得AC/AB=CD/BD=Y/X,
又ΔCFD相似于ΔCEB,得CD/BD=CF/EF=Y/X,得X*CF/Y=EF=1
ΔCFH相似于ΔCAB,得h=AB*CF/AC=X*CF/Y=EF=1

Answer 4

已知等腰△ABC中,∠ABC=90°,AD平分∠BAC,BE⊥AC于E,DF⊥于AC于F
EF=1，求点F到BC的距离

过F做FM⊥与BC于M，过D做DN⊥于BE于N
FEND是矩形，所以DN=EF=1
∵ΔBDN是直角等腰三角形
∴BD=√2
∵AD平分∠BAC，∠ABD=∠AFD=90º
∴FD=BD=√2
∵ΔCMF是直角等腰三角形
∴FM=2

Answer 5

解：过F做FG垂直与BC于G，过D做DH垂直于BE于H
∵矩形FGEH
∴DH=EF=1
∴DF//BE
∵AD平分角BAC
∴△ABD全等于△AFD
∴BD=FD
∵∠GDF = ∠HBD
∴ Rt△DGF全等于Rt△BHD
∴FG=DH=FE=1