Question

线性方程组

设非齐次线性方程组Ax=b的导出组为Ax=0。如果Ax=0仅有零解，则Ax=b（）
（A）必有无穷多解
（B）必有唯一解
（C）必定无解
（D）选项（A）（B）（C）都不对
选哪个？为什么？

Answer 1

你好
非齐次线性方程组AX=b的导出组就是令常数列b=0得到的齐次线性方程组 AX=0.
AX=0仅有零解, 并不能说明 AX=b 是有解还是无解, 故D正确.

Ax=0仅有0解则r(A)=n 而 r(A b)=n "

r(A,b) 可能等于 n+1.
例如 (A,b) =
1 0 1
0 1 0
0 0 1
n是未知量的个数 或 A的列数，而例中n=2

Answer 2

选D
Ax=0只有零解，则r(A)=n
而方程有解的条件是r(A)=r(A|b)
所以Ax=b未必有解
比如一元方程组x=1,x=1有解
而一元方程组x=1,x=2无解
两个方程组都满足题设条件

Answer 3

B
因为Ax=0只有零解说明A可逆
可逆的矩阵对任意b都只有唯一解