Question

第二类曲面积分，第二题第三问，不要用高斯公式做

Answer 1

先求出z对x和y的偏导数
zx=-2x，zy=-2y
设Dxy是∑在xoy面上的投影
原式=∫∫(∑) [x·(-2x)+(z+2y²)]dxdy
=∫∫(Dxy) (2-3x²+y²)dxdy
=∫∫(Dxy)2dxdy
-∫∫(Dxy)3x²dxdy
+∫∫(Dxy)y²dxdy
=2·2π-3∫∫(Dxy)x²dxdy+∫∫(Dxy)x²dxdy
=4π-2∫∫(Dxy)x²dxdy
=4π-∫∫(Dxy)(x²+y²)dxdy
=4π-∫(0→2π)dθ∫(0→√2)ρ³dρ
=4π-2π
=2π

【附注】本题中公式的来历
(1)根据两类曲面积分的联系
∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
=∫∫(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ)dS
=∫∫(Pcosα/cosγ+Qcosβ/cosγ+R)·cosγ·dS
=∫∫(Pcosα/cosγ+Qcosβ/cosγ+R)dxdy
∵cosα/cosγ=-zx
cosβ/cosγ=-zy
∴∫∫Pdydz+Qdzdx+Rdxdy
=∫∫[P·(-zx)+Q·(-zy)+R]dxdy

(2)根据轮换对称性，
∫∫(Dxy)x²dxdy=∫∫(Dxy)y²dxdy

追答

本题技巧性太强，
方法你可以阅读一下，
建议还是学了高斯公式再做。

追问

-Zx不应该是2x²吗

我一直把xdydz换成2x²dxdy做的

追答

我代错了。
原式=∫∫(∑) [x·2x+(z+2y²)]dxdy
=∫∫(Dxy) (2+x²+y²)dxdy
=∫∫(Dxy)2dxdy+∫∫(Dxy)(x²+y²)dxdy
=2·2π+∫∫(0→2π)dθ∫(0→√2)ρ³dρ
=4π+2π
=6π

追问

这个算出来是6π，可我用高斯公式算的是2π，书后面答案也是2π，我觉得很奇怪

追答

我用高斯算的是6π

加上的面是xoy面的下侧，
所以，减去的积分前面要加负号，
减去负数，就是加上一个正数，
你不妨试试，
欢迎追问

追问

好的，谢谢

Answer 2

喝了

追问

能不能别瞎水