Question

一道曲线定积分求弧长的题。

y= （积分区域0到x）tant dt (0≤x≤π/4) 的弧长s=
弧长公式 不是 s=（积分区域0到π/4) 根号下（y²+y'²）dx吗？
我做的过程
y=∫ tant dt =-ln cosπ/4 + lncos0 =-ln根号2/2 这一步哪里错了？
s=∫ 根号下（y²+y'²）dx
=∫根号下

Answer 1

你犯得好象不是一个错误，首先弧长公式错了，另外这个题也不是对tanx积分
y'=tanx （这个是变上限积分的求导）
弧长公式为：
s=∫[0→π/4] √(1+y'²) dx
=∫[0→π/4] √(1+tan²x) dx
=∫[0→π/4] √sec²x dx
=∫[0→π/4] secx dx
=ln|secx + tanx| |[0→π/4]
=ln(√2+1)-ln1
=ln(√2+1)

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追问

√(1+y'²) dx 这个是弧长公式吗？
曲率公式
K= |y''| / (1+y' ²) 3/2次方
这个是曲率公式吧？

还有想请教，为什么只要一结合图像的，我就不行了。但是计算，比如求极限，求导，求积分。都很在行。
我怎么才能学好 微积分的几何应用？

追答

√(1+y'²) dx 叫做弧微分公式，弧长公式是要把积分号加上的。

其实弧长和曲率的问题多数情况下不需要结合图形的，我想你不熟的原因还是这类题做得少的缘固。比如这道考研真题，其实你只要明白y=f(x)是一条曲线，然后套公式∫[a→b] √(1+y'²) dx就是可以求出曲线弧长的，不过考研题稍微绕了个弯，给你的y=f(x)不是一个我们常见的函数，而是一个变上限积分的函数，你只要把它当作一个普通函数来求导就会做了。

我相信如果单独给你一个y=∫[0→x] tant dt，让你求导，你肯定会做。单独给你一个y=x^(3/2)，让你求曲线弧长，你肯定也会。这个题不过是把这两个知识点结合起来一块考了。这是考研题的特点，一般来说一个题不可能只考一个知识点的。

因此关键还是基础要扎实，基础扎实了，拿到这个题迅速就可以把它拆为两个简单题，一个变上限积分求导，一个求曲线弧长，马上就解决了。关于几何的运用也是一样，重要的是能不能把一个较难的题拆为若干个简单题，能拆开就没有问题了。

Answer 2

你这个不是求弧长，而是求正切曲线在[0，π/4]范围内所复盖的面积，也就是一个普通的定积分！
y=[0，π/4]∫tantdt=[0，π/4]∫(sint/cost)dt=[0，π/4]-∫d(cost)/cost=-lncost∣[0，π/4]=-ln[(√2)/2]
=-(1/2)ln2+ln2=(1/2)ln2

追问

你算错了 最后答案是 ln(1+√2)

追答

=-lncost∣[0，π/4]=-lncos(π/4)+lncos0=-ln[(√2)/2]+ln1=-ln[(√2)/2]=-(ln√2-ln2)
=-(1/2)ln2+ln2=(1-1/2)ln2=(1/2)ln2 ，没有错！很正确！

Answer 3

弧长公式是s=∫（积分上下限）√（1+y'²）dx