Question

设F1,F2分别是椭圆E:x^2+y^2/b^2=1(0<b<1)的左、右焦点,过F1的直线L与E相交于A、B两点，

且AF2，AB，BF2成等差数列。（1）求三角形ABF2的周长（2）求AB的长（3）若直线L的斜率为1，求b的值

Answer 1

（1）△ABF2的周长=AB+(AF2+BF2)=(AF1+BF1)+(AF2+BF2)=(AF1+AF2)+(BF1+BF2)=2a+2a=4a=4；
（2）AB=AF1+BF1=(AF2+BF2)/2=[(2a-AF1)+(2a-BF1)]/2=2a-(AF1+BF1)/2；
AB=AF2+BF1=2a/(1+1/2)=4a/3=4/3；
（3）直线斜率为1，通过左焦点(-c,0)，方程为：y=x+c，代入椭圆方程：x^2+(x+c)^2/b^2=1；
整理：(1+b^2)*x^2+2c*x+(c^2-b^2)=0，将b^2=a^2-c^2=1-c^2代入得：(2-c^2)*x^2+2c*x+(2c^2-1)=0；
设上列方程两根分别为x1、x2，有：x1+x2=-2c/(2-c^2)，x1*x2=(2c^2-1)/(2-c^2)；
AB^2/2=(x1-x2)^2=(x1+x2)^2-4x1*x2=[-2c/(2-c^2)]^2-4(2c^2-1)/(2-c^2)=(4/3)^2/2；
上列c^2的一元二次方程整理为：28c^4-53c^2+17=0，解得（c<a=1）：c^2=19/28；
所以 b=√(a^2-c^2)=√(1-19/28)=3/(2√7)=3√7/14；