Question

已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上

已知双曲线的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为2过其右焦点且倾斜角未45度的直线被双曲线截得的弦MN的长为6.求此双曲线的方程

Answer 1

解析：
由题意可得：离心率e=c/a=2，则：c=2a，b²=c²-a²=3a²，其中a>0，b>0，c>0
所以右焦点坐标为（2a，0）且双曲线的标准方程可写为：x²/a² - y²/(3a²)=1即3x² - y²=3a²
而已知直线的倾斜角为45°，那么其斜率k=tan45°=1
则直线的点斜式方程为：y=x-2a
联立方程组：
{ 3x² - y²=3a² （1）
{ y=x-2a （2）
（2）式代入（1）式可得：
3x²-(x-2a)²=3a²
整理化简可得：2x²+4ax-7a²=0
那么：x1+x2=-2a，x1*x2=-7a²/2
所以：|x1 - x2|=根号[(x1+x2)²-4x1*x2]=根号(4a²+14a²)=3(根号2)a
那么：弦长|MN|=|x1-x2|*根号(1+k²)=6
即3(根号2)a*根号2=6
解得：a=1
那么：b²=3a²=3
所以双曲线的标准方程为：x² - （y²/3）=1