Question

关于微积分的问题。中值定理证明下面恒等式

Answer 1

令F(x)=2arccotx+arccos[(2x)/(1+x²)]
则F(x)在[1,x]上连续，在(1,x)上可导，则利用拉格朗日中值定理可知
[F(x)-F(1)]/(x-1) =F'(M) , 其中M∈(1,x)
一方面,F'(x)=0
一方面,[F(x)-F(1)]/(x-1) =2acrcotx+arccos[(2x)/(1+x²)]-2arccot1-arccos1
=2arccotx+arccos[(2x)/(1+x²)]-(π/2)
综上可得
2arccotx+arccos[(2x)/(1+x²)]-(π/2)=0
即2arccotx+arccos[(2x)/(1+x²)]=π/2
不明白可以追问，如果有帮助，请选为满意回答！

追问

你太聪明了！偶像也！ 谢谢啦！

Answer 2

先证明原函数导数恒为零，得出原函数为一个常数函数f(x)=C；
再把x=1带入f(x)=C得出C=π/2。